Kata-kata Mutiara

KATA-KATA MUTIARA TENTANG CINTA

1. Jangan tertarik kepada seseorang karena parasnya, sebab keelokan paras dapat menyesatkan. Jangan pula tertarik kepada kekayaannya, karena kekayaan dapat musnah. Tertariklah kepada seseorang yang dapat membuatmu tersenyum, karena hanya senyum yang dapat membuat hari-hari yang gelap menjadi cerah. Semoga kamu menemukan orang seperti itu.


2. Ada saat-saat dalam hidup ketika kamu sangat merindukan seseorang, sehingga ingin hati menjemputnya dari alam mimpi dan memeluknya dalam alam nyata. Semoga kamu memimpikan orang seperti itu.


3. Bermimpilah tentang apa yang ingin kamu impikan, pergilah ke tempat-tempat kamu ingin pergi, jadilah seperti yang kamu inginkan, karena kamu hanya memiliki satu kehidupan dan satu kesempatan untuk melakukan hal-hal yang ingin kamu lakukan.


4. Semoga kamu mendapatkan kebahagiaan yang cukup untuk membuatmu baik hati, cobaan yang cukup untuk membuatmu kuat, kesedihan yang cukup untuk membuatmu manusiawi, pengharapan yang cukup untuk membuatmu bahagia dan uang yang cukup untuk membeli hadiah-hadiah.


5. Ketika satu pintu kebahagiaan tertutup, pintu yang lain dibukakan. Tetapi acapkali kita terpaku terlalu lama pada pintu yang tertutup sehingga tidak melihat pintu lain yang dibukakan bagi kita.


6. Sahabat terbaik adalah dia yang dapat duduk berayun-ayun di beranda bersamamu, tanpa mengucapkan sepatah katapun, dan kemudian kamu meninggalkannya dengan perasaan telah bercakap-cakap lama dengannya.


7. Sungguh benar bahwa kita tidak tahu apa yang kita miliki sampai kita kehilangannya, tetapi sungguh benar pula bahwa kita tidak tahu apa yang belum pernah kita miliki sampai kita mendapatkannya.


8. Pandanglah segala sesuatu dari kacamata orang lain. Apabila hal itu menyakitkan hatimu, sangat mungkin hal itu menyakitkan hati orang itu pula.


9. Kata-kata yang diucapkan sembarangan dapat menyulut perselisihan. Kata-kata yang kejam dapat menghancurkan suatu kehidupan. Kata-kata yang diucapkan pada tempatnya dapat meredakan ketegangan. Kata-kata yang penuh cinta dapat menyembuhkan dan memberkahi.


10. Awal dari cinta adalah membiarkan orang yang kita cinta menjadi dirinya sendiri, dan tidak merubahnya menjadi gambaran yang kita inginkan. Jika tidak, kita hanya mencintai pantulan diri sendiri yang kita temukan di dalam dia.


11. Orang-orang yang paling berbahagia tidak selalu memiliki hal-hal terbaik, mereka hanya berusaha menjadikan yang terbaik dari setiap hal yang hadir dalam hidupnya.


12. Mungkin Tuhan menginginkan kita bertemu dengan beberapa orang yang salah sebelum bertemu dengan orang yang tepat, kita harus mengerti bagaimana berterima kasih atas karunia itu.


13. Hanya diperlukan waktu semenit untuk menaksir seseorang, sejam untuk menyukai seseorang dan sehari untuk mencintai seseorang tetapi diperlukan waktu seumur hidup untuk melupakan seseorang.


14. Kebahagiaan tersedia bagi mereka yang menangis, mereka yang disakiti hatinya, mereka yang mencari dan mereka yang mencoba. Karena hanya mereka itulah yang menghargai pentingnya orang-orang yang pernah hadir dalam hidup mereka.


15. Cinta adalah jika kamu kehilangan rasa, gairah, romantika dan masih tetap peduli padanya.


16. Hal yang menyedihkan dalam hidup adalah ketika kamu bertemu seseorang yang sangat berarti bagimu dan mendapati pada akhirnya bahwa tidak demikian adanya dan kamu harus melepaskannya.


17. Cinta dimulai dengan sebuah senyuman, bertumbuh dengan sebuah ciuman dan berakhir dengan tetesan air mata.


18. Cinta datang kepada mereka yang masih berharap sekalipun pernah dikecewakan, kepada mereka yang masih percaya sekalipun pernah dikhianati, kepada mereka yang masih mencintai sekalipun pernah disakiti hatinya.


19. Sungguh menyakitkan mencintai seseorang yang tidak mencintaimu, tetapi yang lebih menyakitkan adalah mencintai seseorang dan tidak pernah memiliki keberanian untuk mengutarakan cintamu kepadanya.


20. Masa depan yang cerah selalu tergantung kepada masa lalu yang dilupakan, kamu tidak dapat hidup terus dengan baik jika kamu tidak melupakan kegagalan dan sakit hati di masa lalu.


21. Jangan pernah mengucapkan selamat tinggal jika kamu masih mau mencoba, jangan pernah menyerah jika kamu masih merasa sanggup jangan pernah mengatakan kamu tidak mencintainya lagi jika kamu masih tidak dapat melupakannya.


22. Memberikan seluruh cintamu kepada seseorang bukanlah jaminan dia akan membalas cintamu! Jangan mengharapkan balasan cinta, tunggulah sampai cinta berkembang di hatinya, tetapi jika tidak, berbahagialah karena cinta tumbuh di hatimu.


23. Ada hal-hal yang sangat ingin kamu dengar tetapi tidak akan pernah kamu dengar dari orang yang kamu harapkan untuk mengatakannya. Namun demikian janganlah menulikan telinga untuk mendengar dari orang yang mengatakannya dengan sepenuh hati.


24. Waktu kamu lahir, kamu menangis dan orang-orang di sekelilingmu tersenyum – jalanilah hidupmu sehingga pada waktu kamu meninggal, kamu tersenyum dan orang-orang di sekelilingmu menangis.

kata bijak atau kata mutiara 1 Cinta dan Emosi :
“Cinta sejati tidak hanya menerima, namun lebih pada memberi”


kata bijak atau kata mutiara 2 Cinta dan Emosi :
“Kekuatan Cinta dan Emosi adalah Salah Satu Kekuatan Terbesar yang setiap orang miliki, Yang bisa menggetarkan Dunia”


Kata bijak atau kata mutiara 3 Cinta Dan Emosi :
“Sungguh menyakitkan mencintai seseorang yang tidak mencintaimu, tetapi sungguh lebih menyakitkan mencintai seseorang tetapi tidak pernah memiliki keberanian untuk mengungkapkannya”


Kata bijak atau kata mutiara 4 Cinta dan Emosi :
“Kadangkala cinta tidak terasa ketika cinta itu selalu ada, namun ketika cinta itu sendiri menghilang, barulah engkau akan merasakannya betapa berharganya cinta itu”


Kata Bijak atau kata mutiara 5 Cinta dan Emosi :
“Satu-satunya cara untuk dicintai adalah dengan memberikan cinta yang tulus pada orang yang anda cintai”

Hakekat Manusia

a.                 Makhluk yang memiliki tenga dalam yang dapat menggerakkan hidupnya untuk memenuhi kebutuhan-kebutuhannya.

b.                 Individu yang memiliki sifat rasional yang bertanggung jawab atas tingkah laku intelektual dan sosial.

c.                  yang mampu mengarahkan dirinya ke tujuan yang positif mampu mengatur dan mengontrol dirinya dan mampu menentukan nasibnya.

d.                 Makhluk yang dalam proses menjadi berkembang dan terus berkembang tidak pernah selesai (tuntas) selama hidupnya.

e.                  Individu yang dalam hidupnya selalu melibatkan dirinya dalam usaha untuk mewujudkan dirinya sendiri, membantu orang lain dan membuat dunia lebih baik untuk ditempati

f.                   Suatu keberadaan yang berpotensi yang perwujudanya merupakan ketakterdugaan dengan potensi yang tak terbatas

g.                 Makhluk Tuhan yang berarti ia adalah makhluk yang mengandung kemungkinan baik dan jahat.

h.                 Individu yang sangat dipengaruhi oleh lingkungan turutama lingkungan sosial, bahkan ia tidak bisa berkembang sesuai dengan martabat kemanusaannya tanpa hidup di dalam lingkungan sosial.

Posisi manusia di antara makhluk lain

1. Latar belakang

Manusia merupakan makhluk ciptaan Tuhan YME yang paling sempurna, Manusia memiliki akal yang tidak dimiliki oleh makhluk ciptaan Tuhan yg lainya ,kebanyakan ciptaan Tuhan yang ada di Bumi ini hanya memiliki nafsu. Sehingga manusia pun dinobatkan sebagai khalifah (pemimpin) di muka Bumi ini. Manusia atau orang dapat diartikan berbeda-beda menurut biologis, rohani, dan istilah kebudayaan, atau secara campuran. Secara biologis, manusia diklasifikasikan sebagai Homo sapiens (Bahasa Latin untuk manusia), sebuah spesies primata dari golongan mamalia yang dilengkapi otak berkemampuan tinggi. Dalam hal kerohanian, mereka dijelaskan menggunakan konsep jiwa yang bervariasi di mana, dalam agama, dimengerti dalam hubungannya dengan kekuatan ketuhanan atau makhluk hidup; dalam mitos, mereka juga seringkali dibandingkan dengan ras lain. Dalam antropologi kebudayaan, mereka dijelaskan berdasarkan penggunaan bahasanya, organisasi mereka dalam masyarakat majemuk serta perkembangan teknologinya, dan terutama berdasarkan kemampuannya untuk membentuk kelompok dan lembaga untuk dukungan satu sama lain serta pertolongan. (sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Manusia).

2. TUJUAN DAN LATAR BELAKANG

Tujuan dan maksud dari penulisan ini adalah agar kita mengetahui bahwa manusia diciptakan oleh Tuhan yang Maha Esa tidak hanya untuk menerima tetapi juga untuk memberi dan mengamalkannya. Karena pada dasarnya manusia adalah mahluk sosial dan mahluk hidup yang membutuhkan mahluk hidup lainnya. Dan penulisan ini juga bermaksud agar kita mengerti dimanakah posisi kita sebagai manusia yang berada diantara banyak mahluk disup lainnya.

3. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan ini adalah

Agar kita dapat mengetahui lagi tentang posisi manusia diantara makhluk lainnya .

Dapat menumbuhkan kesadaran pada diri kita untuk selalu berperilaku yang baik antara sesama manusia ataupun kepada makhluk lainnya.

Bisa dijadikan bahan referensi bagi mereka yang ingin mendalami manusia serta hubungannya dengan makhluk lain.

Dapat mengenal lebih dalam tentang dirinya sendiri dibanding makhluk lain.

4. ISI

Pengertian kita yang paling umum tentang posisi manusia diantara makhluk lainnya , jelas makhluk hidup mempunyai ciri-ciri sbagai berikur :

Membutuhkan Makanan dan Air

Bernafas

Bergerak

Dapat Tumbuh

Bereproduksi

Kadang kita menyadari, kita sebagai makhluk hidup, bukan hanya kita yang merupakan makhluk hidup. Melainkan hewan dan tumbuhan yang ada di muka bumi ini adalah makhluk hidup. Tumbuhan adalah makhluk hidup paling awal pada proses rantai makanan. Ia termasuk makhluk hidup karena ia bernafas, bereproduksi tumbuh, dan lainnya. Namun apakah mereka sama dengan manusia? Perbedaan manusia dengan tumbuhan sangat signifikan. Manusia dapat bergerak sangat leluasa. Lain halnya dengan tumbuhan, mereka sangat terbatas.

Bagaimana dengan hewan? Hewan dapat bergerak dengan leluasa sebagaimana manusia. Namun apa yang berbeda dari hewan? Bahwasannya hewan tidak memiliki akal yang sebagaimana manusia memilikinya. Mengapa? Akal adalah sebuah anugrah dari Allah SWT di mana manusia dapat membedakan mana manusia dapat membedakan mana yang baik dan mana yang buruk. Pembedaan ini sangat luas aspeknya, ada kala di mana pembedaan ini dalam konteks prilaku. Manusia akan dapat membedakan di mana perilaku tersebut benar atau salah. Misal, mencuri adalah prilaku yang tidak baik. Bersedekah kepada orang yang kurang mampu merupakan contoh prilaku yang baik. Oleh adanya akal, maka lahirlah di dunia yang namanya Manusiawi, di mana manusia akan berpikir apakah prilaku tersebut baik atau tidak baik. Lain halnya dengan hewan, hewan yang tidak memiliki akal hanya melakukan sesuka hati demi kepentingan sendiri. Tidak peduli cara tersebut baik atau tidak baik.

Dalam pelajaran ekologi manusia, kita akan dikenalkan pada teori tentang hubungan manusia dengan alam. Salah satunya adalah anthrophosentis. Di sana dijelaskan mengenai hubungan manusia dan alam. salah satu bentuknya adalah anthoposentris. dimana manusia menjadi pusat dari alam. maksudnya semua yang ada dialam ini adalah untuk manusia.

kalau dipikir-pikir emang benar sih. buat apa coba, ada sapi, ikan, padi, kalau bukan untuk makanan kita. buat apa ada kayu, batu, pasir, kalau bukan buat bangunan untuk manusia. buat apa ada emas, berlian kalau gak dipakai oleh manusia sebagai perhiasan.

Allah SWT. juga menjelaskannya dalam Al Qur’an, bahwa semua yang ada dialam ini memang sudah diciptakan untuk kepentingan manusia.

“Dia-lah Allah, yang menjadikan segala yang ada di bumi untuk kamu” (al Baqarah: 29)

tapi berbeda dengan anthoroposentris yang menempatkan manusia sebagai penguasa yang memiliki hak tidak terbatas terhadap alam, maka islam menempatkan manusia sebagai rahmat bagi alam.

“Dan tiadalah Kami mengutus kamu, melainkan untuk (menjadi) rahmat bagi semesta alam.”(al Anbiyaa’:107)

walaupun kita diberi kelebihan oleh Allah atas segala sesuatu di alam ini, tapi kelebihan itu tidak menjadikan kita sebagai penguasa atas alam dan isinya. Karena alam dan isinya tetaplah milik Allah. Kita hanya diberikan kekuasaan atas alam tersebut sebagai pengelola dan pemelihara, dan pemakmur.

Kemudia ketika kita berinteraksi dengan alam, tidak seperti paham antroposentris yang menghalalkan sebgala cara asal kebutuhan manusia terpenuhi, islam mengajarkan bahwa hak kita dalam memanfaatkan alam juga dibatasi oleh hak alam dan isinya itu sendiri.

“Dan Dialah yang menjadikan kebun-kebun yang berjunjung dan yang tidak berjunjung, pohon kurma, tanam-tanaman yang bermacam-macam buahnya, zaitun dan delima yang serupa (bentuk dan warnanya), dan tidak sama (rasanya). Makanlah dari buahnya (yang bermacam-macam itu) bila dia berbuah, dan tunaikanlah haknya di hari memetik hasilnya (dengan dikeluarkan zakatnya); dan janganlah kamu berlebih-lebihan. Sesungguhnya Allah tidak menyukai orang-orang yang berlebih-lebihan.” (al an’am:141)

Kita tidak boleh berlegih-lebihan dalam memanfaatkannya, sehingga menimbulkan kerusakan. seharusnya semua yang ada dialam ini kita jadikan sebagai sarana untuk berpikir akan kebesaran Allah SWT.

“Dan di bumi ini terdapat bagian-bagian yang berdampingan, dan kebun-kebun anggur, tanaman-tanaman dan pohon kurma yang bercabang dan yang tidak bercabang, disirami dengan air yang sama. Kami melebihkan sebahagian tanam-tanaman itu atas sebahagian yang lain tentang rasanya. Sesungguhnya pada yang demikian itu terdapat tanda-tanda (kebesaran Allah) bagi kaum yang berpikir.” (ar Ra’du: 4)

5. RANGKUMAN

Tuhan memberikan manusia kelebihan dibanding makhluk lain, hendaknya kita mensyukuri segala kelebihan yang telah diberikan, yaitu dengan memanfaatkan setiap kelebihan kita untuk hal-hal yang positif seperti mengunakan akal kita untuk menciptakan ilmu pengetahuan dan teknologi yang bermanfaat bagi seliruh umat manusia.

Setiap manusiapenting untuk dapat menghargai manusia lain dan juga menghargai alam, karena setiap manusia pasti selalu membutuhkan manusia lain untuk hidup, karena itulah manusia disebut sebagai Makhluk Sosial.

Apa itu Matematika

Oleh Nur Ainul Yaqin

Matematika berasal dari bahasa Yunani yaitu sains,ilmu pengetahuan atau belajar. Dalam pengertian yang lain matematika merupakan cara untuk berfikir dan menalar. Dalam filsafat matematika sangat bersangkut pautan dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika,karena teori matematika itu harus spekulatif. Tokoh utama dalam filsafat matematika yaitu: PYTHAGORAS, ARISTOTELES, dan KANTDA LEBUIZ. Pendidikan matematika menurut WEIN (1973) pendidikan matematika adalah suatu study tentang aspek-aspek, sifat-sifat dasar dan sejarah matematika beserta psikologi belajar dan mengajarnya yang berkontrobusi terhadap pemahaman guru dalam tugasnya bersama siswa. pendidikan matematika tersebut bisa berupa: 1. aspek matematika. 2. sifat dasar. 3. sejarah. 4. psikologi belajar. 5. kurikulum sekolah. 6. prinsip perkembangan matematika di sekolah.

MATEMATIKA EMPIRIS ( Abad ke-6 SM 1850) 

   Yunani kuno, sebagai abad empirisme matematika. selama 900 th kontibusi bangsa Yunani terhadap matematika sangat besar,dan terpenting yaitu berupa penalaran deduktif dan lingkungan fisik dapat didekripsikan dengan bilangan.

    Babilonia dan Mesir, perhitungan yang berkaitan dengan kalender, kontruksi, dan perhitungan terkait masalah praktis. Pengetahuan aritmetis Babilonia, diturunkan oleh bangsa Sumeria.

MATEMATIKA KONTEMPORER ( 1850-SEKARANG)

    Aritmatika memiliki peran ganda sebagai alat bantu sains dan pedagangan, dan sebagai katalisator uji kompuratif landasan dasar tempat sistem matematika dibangun. Perkembangan yang spektakuler adl diciptakannya komputer. 

Matematika adalah

mungkin anda sudah tahu bahwa matematika lebih daripada aritmetika, yakni ilmu tentang kalkulasi atau perhitungan. matematika lebih daripada aljabar, yang merupakan bahasa lambang, relasi dan operasi.  matematika lebih daripadageometri, yang merupakan pelajaran tentang bangun, ukuran dan ruang. matematika lebih dari statistika, yakni ilmu untuk menafsirkan data dan grafik-grafik. matematika lebih daripada kalkulus yakni bidang studi tentang perubahan, limit dan ketakhinggaan. matematika adalah semuanya itu, bahkan lebih.

matematika adalah cara atau metode berfikir dan bernalar. matematika dapat digunakan untuk membuat keputusan apakah suatu ide itu benar atau salah atau paling tidak ada kemungkinan benar. matematika adalah suatu medan eksplorasi dan penemuan, di situ setiap hari ide-ide baru ditemukan. matematika adalah metode berfikir yang digunakan untuk memecahkan semua jenis permasalahan yang terdapat dalam sains, pemerintahan, dan industri.matematika adalah bahasa lambang yang dapat dipahami oleh semua bangsa berbudaya. bahkan dipercaya bahwa matematika akan menjadi bahasa yang dipahami oleh penduduk di planet mars dan lain-lain (jika disana ada penduduknya). matematika adalah seni, seperti pada musik, penuh dengan simetri, pola dan irama yang dapat sangat menghibur. matematika dilukiskan pula sebagai pelajaran tentang pola. pola adalah sejenis keteraturan, baik dalam bentuk maupun dalam ide. matematika adalah ‘alat’ bagi para pembuat peta, arsitek, navigator angkasa luar, pembuat mesin, akuntan dan lain-lain. seorang akuntan yang bekerja dengan masalah keuangan, astronom yang mengukur jarak bumi ke mars, insinyur yang merancang jembatan, fisikawan yang membuat plastik baru, bukanlah matematikawan secara langsung, tetapi mereka menggunakan ide-ide matematis yang telah ditemukan oleh matematikawan.

matematikawan gemar bergulat dengan ide-ide. mereka bekerja, utamanya dengan pemikiran dan penalaran. inilah jenis pekerjaan yang dapat dilakukan sambil menunggu bis, mendaki gunung, bahkan sambil mandi. entah pekerjaan itu dikerjakan di belakang meja atau laboratorium, tetap saja sangat menarik dan penting untuk peradaban manusia.

Posted: November 3, 2010 by skakmath in Math Fun

Tags: matematika fun, math info

Sungguh Bahagia

Alangkah bahagianya,
seandainya maut menjemput, kita sedang berurai air mata merasakan manisnya iman dalam sujud penghambaan,
rindu akan perjumpaan dengan-Nya.


alangkah indahnya air mata yang selalu berlinang dari munajat seorang anak yang shaleh kpada Allah,
merindukan kemuliaan dan keselamatan kedua orang tuanya,
Taburan doanya menjadi cahaya yang menerangi dari gelapnya alam kubur,

doa-doanya mengantarkan kepulangan orang tuanya pada Allah dalam Husnul Khatimah,

Rintihan dan munajatnya menjadi benteng yang kokoh sebagai penghalang dari azab & siksa kubur,

Doa yang tiada terputus mengalir dari ketulusan dan kebeningan hati agar orng tuanya dalam kasih sayang Allah,

Hakikat dan Sejarah Matematika

PEMA4101
Hakikat dan Sejarah Matematika  Sukardjono 
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm
ISBN : 9790111576
DDC : 510
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2007

Tinjauan Mata Kuliah
Mata kuliah Hakikat dan Sejarah Matematika ini akan memberikan fasilitas kepada Anda untuk membangun (konstruksi) pengertian, sikap dan nilai Anda tentang apa matematika ditinjau dari hakikat dan sejarahnya sehingga terbuka kemungkinan pembelajaran matematika Anda di SMP atau SMA akan semakin efektif.

Seorang matematikawan dan filsuf Amerika, Williams L. Schaaf pernah mengatakan: "Tidak seorang guru pun dapat melakukan tugasnya dengan efektif dan kreatif tanpa pemahaman yang cukup terhadap perkembangan bidang studi yang diasuhnya". Karena itu mata kuliah ini sangat penting bagi Anda pengajar matematika di SMP maupun di SMA yang tentunya setiap saat, selalu bersedia untuk meningkatkan mutu pembelajarannya. Dengan mempelajari mata kuliah ini Anda akan lebih mantap dan percaya diri dalam melakukan pembelajaran matematika di kelas.

Setelah mengikuti mata kuliah ini Anda diharapkan mampu:

1.      menjelaskan hakikat matematika, filsafat matematika, dan filsafat pendidikan matematika;

2.      menjelaskan bahwa matematika adalah warisan budaya manusia;

3.      menjelaskan perkembangan matematika sejak dahulu sampai masa kini;

4.      menjelaskan cara berpikir matematika;

5.      menjelaskan landasan-landasan dasar matematika;

6.      menjelaskan sifat-sifat kebenaran matematika;

7.      menjelaskan perkembangan geometri dan aklimatisasinya;

8.      menjelaskan bahwa matematika mampu berperan sebagai metode dan seni.

Materi mata kuliah ini disajikan dalam sembilan (9) modul dengan rincian sebagai berikut.

1.      Modul 1: Hakikat Matematika.

2.      Modul 2: Matematika sebagai Warisan Budaya.

3.      Modul 3: Perkembangan Matematika.

4.      Modul 4: Berpikir Matematis.

5.      Modul 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1).

6.      Modul 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2).

7.      Modul 7: Landasan Matematika.

8.      Modul 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris.

9.      Modul 9: Matematika Sebagai Metode dan Seni.

---

MODUL 1: Hakikat Matematika

Kegiatan Belajar 1: Matematika dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu benar.

Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.

Kegiatan Belajar 2: Filsafat Matematika
Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis, praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan. Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.

Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.

Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.

Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik - sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia permanen' merupakan realita daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih menekankan pada 'absraksi' daripada 'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.

Kegiatan Belajar 3: Filsafat Pendidikan Matematika
Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.

Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.

Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan fasilitator.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52, PP. 664-672.

---

MODUL 2: Matematika sebagai Warisan Budaya

Kegiatan Belajar 1: Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850)
Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika

1000 SM - 600 SM	:	Sumeria, Babilonia, Mesir kuno
		Pengembang aritmetika: pedagang, orang-orang awam
600 SM - 300 SsM	:	YunaniPengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
		Pengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
300 - 1200	:	Stagnan. Di Eropa ada beberapa orang
		Boethius, Alcuino, Gerbert, Leonardo Fibonacci
1200 - 1800	:	di Eropa, fajar menyingsing
		Robert Recorde, Gemma Frietius, Simon Steven, John Napier, Newton, Leibniz

Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 - 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.

Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju ketakhingga.

Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan alat-alat elektronik digital.

Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120 perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.

Barulah pada abad ke-16, pusat perkembangan matematika berada di Eropa.

Kegiatan Belajar 2: Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang) 
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.

Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya "otak elektronik", komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.

Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih "mengeraskan" aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut "arimetisasi"

Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai "hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.

Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat "menghasilkan") sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam.

Permasalahan terakhir adalah masalah "landasan" atau "pondasi" matematika atas mana struktur matematika itu dibentuk.

Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52, PP. 664-672.

---

MODUL 3: Perkembangan Matematika

Kegiatan Belajar 1: Perkembangan Sebelum Renaissance
Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.

Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, "dahulu", "pertengahan", dan "sekarang". Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM - 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.

Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode "dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode "sekarang" ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan "matematika adalah cara berpikir dan bernalar", lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)

Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.

Kegiatan Belajar 2: Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance 
Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).

Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.

Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk 'makanan' para pakar matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).

Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52, PP. 664-672.

---

MODUL 4: Berpikir Matematis

Kegiatan Belajar 1: Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.

Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan Hilbert yang paling berpengaruh.

Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.

Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.

Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari perangkat aksioma.

Kegiatan Belajar 2: Peran Logika dalam Sistem Matematika 
Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.

Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak pasti.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52, PP. 664-672.

---

MODUL 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1)

Kegiatan Belajar 1: Aksioma dan Proposisi Matematika
Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.

Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.

Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.

Kegiatan Belajar 2: Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika 
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.

Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp. 664-672.

---

MODUL 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2)

Kegiatan Belajar 1: Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut' dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.

G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2 didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.

Kegiatan Belajar 2: Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris 
Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif 'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.

Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang eksplisit.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp. 664-672.

---

MODUL 7: Landasan Matematika

Kegiatan Belajar 1: Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.

Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua 'teori proporsi' model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.

Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya 'infinitesial'. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.

Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.

Kegiatan Belajar 2: Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan 
Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.

Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental "Principia Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan hukum 'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.

Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum 'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.

Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis menghasilkan karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.

John von Neumann (1903 - 1957)

John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan "pemenang" dalam permainan pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.

Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam pengembangan energi atom.

Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.

Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp. 664-672.

---

MODUL 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris

Kegiatan Belajar 1: Geometri Aksiomatis
Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.

Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.

Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.

Kegiatan Belajar 2: Geometri Empiris 
Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.

Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam geometri murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri fisik. Term-term 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.

Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang perlu divalidasi adalah P dan bukan G.

Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T. (1966). The Development of Mathemathics. New York: Mc. Millan.

·         Boyer, C. B. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra. (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G. (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A. (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O. (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan. (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I. (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I. (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta: Bina Aksara.

·         Rapar, J. H. (1996). Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L. (1963). The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma. (1996). Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J. (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis. (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T. (1973). Mathematics Education. London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine. (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp. 664-672.

---

MODUL 9: Matematika sebagai Metode dan Seni

Kegiatan Belajar 1: Matematika sebagai Metode
Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).

Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.

Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.

Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.

Kegiatan Belajar 2: Matematika adalah Seni Keindahan 
Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.

Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius" mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang tanpa akhir.

Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain. Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap; dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya, dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti "Metropolis of Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, "membangun musik, maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu selalu membangun". Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.

Daftar Pustaka

·         Bell, E. T., (1966). The Development of Mathemathics, Ner York: MCMillan.

·         Boyer, C. B., (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey & Son.

·         Eka Darmaputra., (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Hampel, C. G., (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.

·         Johnson, D. A., (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.

·         Kattasoff, L. O., (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono. Yogyakarta: Tiara Wacara.

·         Korne, Stephan., (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.

·         Newsom, C. W., (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.

·         Pujawijatna, I. I., (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.

·         Pujawijatna, I. I., (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta, Bina Aksara.

·         Rapar, J. H., (1996), Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.

·         Schaaf, W. L., (1963), The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.

·         Suparma, (1996), Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.

·         Struik, D. J., (1967). A Concise History of Mathematics, New York: Dover.

·         Suseno, Franz Magnis, (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta: Kanisius.

·         Wein, G. T., (1973), Mathematics Education, London: Van Nostrand.

·         Moris, Kleine, (1966), Mathematical Monthly, Vol. 52, PP. 664-672.